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　　课后习题答案 1.1 为什么经典物理无法准确描述电子的状态？在量子力学中又是用什么方法来描述的？ 解：在经典物理中， 粒子和波是被区分的。 然而， 电子和光子是微观粒子， 具有波粒二象性。 因此，经典物理无法准确描述电子的状态。 在量子力学中， 粒子具有波粒二象性， 其能量和动量是通过这样一个来与物质波的频率 ? 和波矢 k 建立联系的，即 E ? h? ? ?? p? h? n ? ?k c 上述等式的左边描述的是粒子的能量和动量，右边描述的则是粒子波动性的频率 ? 和波矢 k。 1.2 量子力学中用什么来描述波函数的时空变化规律？ 解：波函数? 是空间和时间的复函数。与经典物理不同的是，它描述的不是实在的物理量 的波动，而是粒子在空间的概率分布，是一种几率波。如果用? ?r , t ? 表示粒子的德布洛意 波的振幅，以 ? ?r , t ? ? ? ?r , t ? ? ?r , t ?表示波的强度，那么，t 时刻在 r 附近的小体积元 2 ? ?x?y?z 中检测到粒子的概率正比于 ? ?r , t ? ?x?y?z 。 2 1.3 试从能带的角度说明导体、半导体和绝缘体在导电性能上的差异。 解：如图 1.3 所示，从能带的观点来看，半导体和 绝缘体都存在着禁带，绝缘体因其禁带宽度较大 6~7eV，室温下本征激发的载流子近乎为零，所 以绝缘体室温下不能导电。半导体禁带宽度较小， 只有 1~2eV，室温下已经有一定数量的电子从价 带激发到导带。所以半导体在室温下就有一定的 导电能力。而导体没有禁带，导带与价带重迭在 一起，或者存在半满带，因此室温下导体就具有 良好的导电能力。 1.4 为什么说本征载流子浓度与温度有关？ 解： 本征半导体中所有载流子都来源于价带电子的本征激发。 由此产生的载流子称为本征载 流子。本征激发过程中电子和空穴是同时出现的，数量相等， n0 ? p0 ? ni 。对于某一确定 的半导体材料，其本征载流子浓度为 ni2 ? n0 p0 ? NC NV e Eg kT 式中，NC，NV 以及 Eg 都是随着温度变化的，所以，本征载流子浓度也是随着温度变化的。 1.5 什么是施主杂质能级？什么是受主杂质能级？它们有何异同？ 解：当半导体中掺入施主杂质后，在其导带底的下方，距离导带底很近的范围内可以引入局 域化的量子态能级。该能级位于禁带中，称之为施主杂质能级。同理，当半导体中掺入受主 杂质后，在其价带顶的上方，距离价带顶很近的范围内也可引入局域化的受主杂质能级。 施主能级距离导带底很近，施主杂质电离后，施主能级上的电子跃迁进入导带，其结果 向导带提供传导电流的准电子；而受主能级距离价带顶很近，受主杂质电离后，价带顶 的电子跃迁进入受主能级，其结果向价带提供传导电流的空穴。 1.6 试比较 N 型半导体与 P 型半导体的异同。 解：对同种材料制作的不同型号的半导体来说，具有以下相同点：二者都具有相同的晶格结 构， 相同的本征载流子浓度， 都对温度很。 不同点是， N 型半导体所质是施主杂质， 主要是靠电子导电，电子是多数载流子，空穴是少数载流子：而 P 型半导体所质是受 主杂质，主要靠空穴导电，空穴是多数载流子，电子是少数载流子。 1.7 从能带的角度说明杂质电离的过程。 解：杂质能级距离主能带很近，其电离能一般都远小于禁带宽度。因此，杂质能级与主能带 之间的电子跃迁也比较容易完成。 以施主杂质为例， 施主能级上的电子就是被该施主原子束 缚着的电子。 它在室温下吸收晶格振动的能量或光子的能量 （只要其能量高于杂质的电离能） 后，就可以施主原子核对它的，跃迁进入导带成为准电子。这一过程称之为杂 质电离。电离以后的杂质带有正电荷，电离以前的杂质是电中性的。 1.8 什么是迁移率？什么是扩散系数？二者有何关系？ 解： 迁移率是描述载流子在电场作用下输运能力的一个物理量； 扩散系数是描述载流子在其 浓度梯度作用下输运能力的物理量。二者可以通过以下爱因斯坦关系建立联系： D ? ? kT q 1.9 说明载流子的两种输运机制，并比较它们的异同。 解： 载流子的输运机制可分为扩散运动和漂移运动两种。 扩散运动是在半导体中存在载流子 的浓度梯度时， 高浓度一边的载流子将会向低浓度一边输运。 这种运动称为载流子的扩散运 动。扩散运动的强弱与浓度梯度的大小成正比，即与载流子的分布梯度有关。漂移运动是半 导体中的载流子在电场力作用下的定向运动。 其强弱只与电场的大小成正比， 与载流子的分 布没有关系。 1.10 什么是费米能级？什么是准费米能级？二者有何差别？ 解：在热平衡条件下，半导体中能量为 E 的能级被电子占据的几率 fE服从费米-狄拉克分 布 f ?E ? ? 1 1? e E ? EF kT 式中的 EF 就是费米能级。 它是一个描述半导体电子系统中电子填充能带水平的标志性参数， 也称为热平衡系统的化学势。 准费米能级是半导体系统在非平衡条件下（如关照或有电注入下） ，有非平衡载流子存 在时， 为了描述导带电子在导带各能级上的分布以及价带空穴在价带各个能级上的分布而引 入的一个参考量。其大小也反映了电子和空穴填充能带的水平。值得注意的是，一个能带内 消除非平衡的影响仅仅需要 10 ?11 ~ 10?12 s ，而少子寿命约为 10?6 s 。所以，在非平衡载流 子存在的绝大部分时间内主能带的电子都处于平衡分布。 1.11 什么是扩散长度？扩散长度与非平衡少数载流子寿命有何关系？ 解： 扩散长度是描述载流子浓度随着扩散深度增加而衰减的特征长度。 扩散长度与非平衡少 数载流子寿命的关系如下： L p ? D p? p , Ln ? Dn? n 1.12 简述半导体材料的导电机理。 解：半导体的导电机理与金属是不同的。金属中只有一种载流子（电子）参与导电，而半导 体中同时有两种载流子（电子和空穴）参与导电。本征半导体中导电的载流子是由于本征激 发而产生的电子和空穴。它们是同时出现的，且 n0 ? p0 ? ni ，两种载流子对电流的贡献相 同。但是，在杂质半导体中往往有 n0 ?? p0 ，或者 n0 ?? p0 ，存在着多数载流子和少数载 流子。所以，多数载流子对电流的贡献占据主要地位，而少数载流子对电流的贡献却可以忽 略不计。 习 7 题1 1.1 计算速度为 10 cm s 的电子的德布洛意波长。 解： ? ? h h 6.626?10?34 ? ? ? 7.28?10?9 ?m? p m v 9.1?10?31 ?105 15 1.2 如果在单晶硅中分别掺入 10 cm3 的磷和 1015 cm3 的硼，试计算 300K 时，电子占据 杂质能级的概率。根据计算结果检验常温下杂质几乎完全电离的假设是否正确。 解：查表可知，磷作为硅晶体中的施主杂质，其电离能为 ?E D ? 0.044 eV , 硼作为硅晶体 中的受主杂质，其电离能为 ?E A ? 0.045 eV 。于是有 E D - E F ? E D - Ei ? Eg 2 ? ?ED ? 0.56 ? 0.044 ? 0.516?eV ? 能级为 ED 的量子态被被电子占据的几率为 f ED ? 1 1 ? ? 2.4 ?10?9 E ? E 0 . 516 ? ? ? i ? exp? D ? exp? ? ?1 ? 0.026? ? kT ? 上述结果说明，施主能级上的电子几乎全部电离。 能级为 EA 的量子态被空穴占据的几率为 f EA ? 1 1 ? ? 2.4 ?10?9 ? Ei ? E A ? ? 0.515? exp? ? ? 1 exp? ? ?1 ? 0.026? ? kT ? 上述计算结果说明受主能级上的空穴几乎全部被电离。 1.3 硅中的施主杂质浓度最高为多少时材料简并的。 解：若假设非简并的条件为 EC ? EF ? 2kT , 那么，非简并时导带电子浓度为 ? E ? EF ? ? 2kT ? 19 2 18 ?3 n0 ? NC exp? C ? ? NC exp? ? ? 2.8 ?10 e ? 3.8 ?10 cm ? kT ? ? kT ? ? ? 非简并时，最高施主杂质浓度为 ND ? n0 ? 3.8 ?1018 cm?3 15 ? ? 1.4 某单晶硅样品中每立方厘米掺有 10 个硼原子，试计算 300 K 时该样品的准电子浓 度、空穴浓度以及费米能级。如果掺入的是磷原子它们又是多少？ 解：硼原子掺入硅晶体中可以引入受主杂质，材料是 P 型半导体： N A ? 10 cm 15 ?3 该样品的空穴是多子，其浓度为 p0 ? NA ? 1015 cm?3 n 2 1.02?1010 电子是少子，其浓度为 n0 ? i ? p0 1015 费米能级为 ? ? 2 ? 1.04?105 cm?3 ? ? ? p0 ? ? 1015 ? ? ? EF ? Ei ? kT ln? ? ? ?eV ?Ei ? 0.026ln? ? 1.02?1010 ? ? ? Ei ? 0.299eV n ? ? ? i ? 即费米能级在本征费米能级的下方 0.299eV 处。 ?3 ?3 ?3 1.5 某硅单晶样品中掺有 10 cm 的硼、 10 cm 的磷和 10 cm 镓，试分析该材料是 N 型半导体还是 P 型半导体？准电子和空穴浓度各为多少？ 解：由硼、磷、镓掺入硅中分别成为受主、施主和受主，它们在硅晶体中引入的杂质浓度依 次为 N A1 ? 1016 cm?3 、 N D ? 1016 cm?3 、 N A2 ? 1015 cm?3 由于 16 16 15 N A1 ? N A2 ? N D ? 1015 cm?3 ? 0 ，即受主原子总数大于施主原子总数，所以该材料 是 P 型半导体。此时，硅材料中 空穴浓度为 p0 ? 1015 cm?3 准电子浓度为 n0 ? ni2 1.02 ? 1010 ? p0 1015 15 ? ? 2 ? 105 cm ?3 ?3 ? ? 1.6 有两块单晶硅样品，它们分别掺有 10 cm 的硼和磷，试计算 300K 时这两块样品的电 阻率，并说明为什么 N 型硅的导电性比同等的 P 型硅好。 解 ： 查 P.22 图 1.4.2 可 得 空 穴 迁 移 率 ? p ? 400cm2 ?V ? s? ， 电 子 迁 移 率 ? n ? 1200cm2 ?V ? s ? 于是，掺硼的单晶硅电阻率为 ? B ? 1 1 ? 15 ? 15.625? ? cm p0 q? p 10 ? 1.6 ? 10?19 ? 400 掺磷的单晶硅电阻率为 ? p ? 1 1 ? 15 ? 5.208? ? cm n0 q? n 10 ? 1.6 ? 10?19 ? 1200 因为电子的迁移率大于空穴的迁移率，所以在其它条件不变的情况下，N 型硅的导电性较 P 型硅的导电性高。 1.7 实验测出某均匀 N 型硅的电阻率为 2? ? cm ，试估算施主杂质浓度。 解：本查 P.301 附录 A 可得 N D ? 2.3 ?1015 cm?3 ，再查 P.22 图 1.4.2 可得电子的迁移率为 ? n ? 1200cm2 ?V ? s ?。则施主杂质的浓度为 ND ? 1 1 ? ? 2.6 ? 1015 cm?3 ?19 ? n q? n 2 ? 1.6 ? 10 ? 1200 ? ? 1.8 假设有一块掺有 10 cm 施主杂质的硅样品，其截面积为 0.2?m ? 0.5?m ，长度为 18 ?3 2?m 。如果在样品两端加上 5V 电压，通过样品的电流有多大？电子电流与空穴电流的比 值是多少？ 解：掺有施主杂质浓度 N D ? 10 cm 的硅样品，其电子浓度为 18 ?3 n0 ? N D ? 1018 cm?3 ， ? ? 再查 P.22 可得电子的迁移率 ?n ? 380cm 2 ?V ? s? ，于是，该材料的电导率为 ? ? n0 q? n ? 1018 ? 1.6 ? 10?19 ? 380 ? 60.8 1? ? cm 在该样品两端加上 5V 电压后的电场强度为 E ? ? ? ? ? V 5 ? ? 2.5 ? 10 4 ?V cm ? ?4 L 2 ? 10 于是，电子电流密度为 jn ? ?E ? 60.8 ? 2.5 ?104 ? 1.52?106 A cm2 如 果 在 样 品 两 端 加 上 5V 电 压 ， 通 过 样 品 的 电 流 为 I n ? jn ? A ? 1.52?106 ? 0.2 ?10?4 ? 0.5 ?10?4 ? 1.52?10?3 ? A? 平衡空穴浓度为 p0 ? ni2 ?1.02 ? 10?2 ? ? 104.04 cm?3 18 n0 10 ? ? 再查 P.22 图 1.4.2 可得空穴迁移率为 ? p ? 190cm2 ?V ? s ? ，于是电子电流与空穴电流的比 值为 In n? 1018 ? 380 ? 0 n ? ? 1.92 ? 1016 I p p0 ? p 104? 190 1.9 有一块浓度为 10 cm 的 N 型硅样品， 如果在 1?m 的范围内， 空穴浓度从 10 cm 17 ?3 16 ?3 线 cm ，求空穴的扩散电流密度。 2 解：查 P.22 图 1.4.2 可得当 N ? 10 cm 时， ? p ? 210 cm V ? s ，所以 17 ?3 13 ?3 ? ? DP ? kT ? p ? 0.026? 210 ? 5.46 cm2 s q ? ? ? ? ? ? dp p1 ? p 2 1016 ? 1013 ? ? ? 9.99 ? 1019 1 cm 4 ?4 dx ?x 10 j p ? qD p dp ? 1.6 ? 10 ?19 ? 5.46 ? 9.99 ? 10 19 ? 87.3 A cm 2 dx 17 ?3 1.10 光照射在一块浓度为 10 cm 的 N 型硅样品上， 假设光照引起的载流子产生率为 1013 cm ?3 ，求少数载流子浓度和电阻率，并画出光照前后的能带图。已知 ? n ? ? p ? 2?s ， ?n ? 1350cm2 ?V ? s ? ， ? p ? 500cm2 ?V ? s? ， ni ? 1.5 ?1010 cm?3 。 解： n0 ? N D ? 1017 cm?3 ， n ? n0 ? ?p ? 1017 cm?3 ni2 1.5 ?1010 p0 ? ? ? 2250 cm?3 17 ND 10 ? ? 2 ? ? 7 7 少数载流子浓度为 p ? p0 ? ?p ? 2250? 2 ?10 ? 2 ?10 cm 电导率为 ? ?3 ? ? ? nq? ? pq? p ? 1017 ?1.6 ?10?19 ?1350? 2 ?107 ?1.6 ?10?19 ? 500 ? 21.6 ? 1.6 ?10?9 ? 21.6?s cm? 电阻率为 ? ? 1 ? ? 1 ? 4.63 ?10 ?2 ?? ? cm ? 21.6 1.11 写出下列状态下连续性方程的简化形式： （1）无浓度梯度、无外加电场、有光照、稳态； （2）无外加电场、无光照等外因引起载流子的产生，稳态。 解： 以 P 型半导体为例，电子为少数载流子，完整的连续性方程为 n ? n0 ?n ?2n ?n ?E ? Dn 2 ? ? n E ? ? n n ? Gn ? ?t ?x ?x ?n ?x （1） 无浓度梯度、无外加电场、有光照、稳态情况下上式可以简化为 Gn ? n ? n0 ?n 因为无浓度梯度，所以含有浓度梯度的项均等于零，即 ? 2n ?n Dn 2 ? ? n E ?0 ?x ?x 因为无外加电场，所以，含有电场的项也为零，即 ?n E ?n ?E ? ?nn ?0 ?x ?x 又因为有光照，所以产生率 G 不等于零；因为讨论的是稳态情况，所以，载流子浓度不随 时间变化 ?n ?0 ?t （2） 同理，无外加电场、无光照等外因引起载流子的产生，稳态情况下连续性方程可以 简化为 Dn 对 于 空 穴 来 说 ， ? 2 n n ? n0 ? ?n ?x 2 据 空 穴 的 连 续 性 方 程 根 p ? p0 ?p ?2 p ?p ?E ，作相应的简化，同样可以得到 ? Dp 2 ? ? p E ? ? p p ? Gp ? ?t ?x ?x ?p ?x （1） G p ? p ? p0 ?p 和（2） D p ? 2 p p ? p0 。 ? ?p ?x 2 \